Este blog esta creado con el fin de tener un lugar en donde consultar cada que veamos clases de calculo integral, como un método de repaso de algunos temas de la materia en cuestión.
Realizado por:
Bibiana Elena Lopez
Jessica Paola Chalela
Presentado A:
Carlos Alberto Roncancio
Realizado por:
Bibiana Elena Lopez
Jessica Paola Chalela
Presentado A:
Carlos Alberto Roncancio
Concepto de Integral
Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada así como la suma es a la resta.
Por conveniencia se introduce una notación para la antiderivada de una función
Si F!(x) = f(x), se representa
A este grafo ∫ se le llama símbolo de la integral y a la notación ∫f x dx se le llama integral indefinida de f(x) con respecto a x. La función f(x)se denomina integrando, el proceso recibe el nombre de integración. Al número C se le llama conste de integración esta surge por la imposibilidad de la constante derivada. Así como dx denota diferenciación son respecto a la variable x, lo cual indica la variable derivada.
∫f x dx
Esto se lee integral de fx del diferencial de x
Propiedades
-->
· ∫ kfx dx = k ∫f x dx
· ∫ (f x+ gx) dx = ∫f x dx + ∫g x dx
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la regla de la cadena.
El método se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por sustitución
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más sencilla, procedemos a integrar:
3º Se vuelve a la variable inical:
Ejercicios
Integración por partes
El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos.
Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que la integral de v' sea inmediata.
Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.
Ejercicios
Integral definida
Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
La integral definida se representa por 
.
.
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
Propiedades de la integral definida
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b.
Se representa por 
.
.
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
Propiedades de la integrales definidas
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
ESTADISTICA DE LA PROBABILIDAD
¿QUÉ ES LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA?
La Probabilidad y la Estadística se encargan del estudio del azar desde el punto de vista de las matemáticas:
- La Probabilidad propone modelos para los fenómenos aleatorios, es decir, los que se pueden predecir con certeza, y estudia sus consecuencias lógicas.
- La Estadística ofrece métodos y técnicas que permiten entender los datos a partir de modelos.
De esta manera, el Cálculo de las Probabilidades es una teoría matemática y la Estadística es una ciencia aplicada donde hay que dar un contenido concreto a la noción de probabilidad.
PROBABILIDAD
En este sentido, el cálculo científico de probabilidades puede ayudarnos a comprender lo que en ocasiones la intuición nos indica de manera errónea. Un ejemplo típico es la denominada "paradoja de los cumpleaños". Supongamos que estamos en un grupo de 23 personas. Los cálculos nos dicen que la probabilidad de que dos personas celebren el mismo día su cumpleaños es del 50%, algo que a simple vista parece increíble (Paradoja del Cumpleaños »). No es de extrañar por tanto que la Teoría de Probabilidad se utilice en campos tan diversos como la demografía, la medicina, las comunicaciones, la informática, la economía y las finanzas.
ESTADÍSTICA
Cuando hablamos de estadística, se suele pensar en un conjunto de datos numéricos presentada de forma ordenada y sistemática. Esta idea es debida a la influencia de nuestro entorno, ya que hoy día es casi imposible que cualquier medio de communicación, periódico, radio, televisión, etc, no nos aborde diariamente con cualquier tipo de información estadística.
Sólo cuando nos adentramos en un mundo más específico como es el campo de la investigación de las Ciencias Sociales: Medicina, Biología, Psicología, ... empezamos a percibir que la Estadística no sólo es algo más, sino que se convierte en la única herramienta que, hoy por hoy, permite dar luz y obtener resultados, y por tanto beneficios, en cualquier tipo de estudio, cuyos movimientos y relaciones, por su variabilidad intrínseca, no puedan ser abordadas desde la perspectiva de las leyes determistas.
La Estadística se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos (Estadística Descriptiva), siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar inferencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones ( Estadística Inferencial).
Diagrama de árbol
diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de muchas probabilidades se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.
El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta de una serie de pasos, donde cada uno de estos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.
- Ejemplos
Una universidad está formada por tres facultades:
- La 1ª con el 50% de estudiantes.
- La 2ª con el 25% de estudiantes.
- La 3ª con el 25% de estudiantes.
Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.
¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?
¿Probabilidad de encontrar un alumno varón
Ejemplos
1Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:
1Seleccionar tres niños.
2Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
3Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
Ejemplos:
1.Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden
estar los pacientes de este médico?
N
Solución: A
A B
N
B A
B
M AB N
A
O B
A
N
F B A
B
AB
B
O A
B
Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar;
MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc, etc.
2) Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta cinco veces como máximo, él empieza a jugar con un dólar, apuesta cada vez un dólar y puede ganar o perder en cada juego un dólar, él se va a retirar de jugar si pierde todo su dinero, si gana tres dólares (esto es si completa un total de cuatro dólares) o si completa los cinco juegos, mediante un diagrama de árbol, diga cuántas maneras hay de que se efectué el juego de este hombre.
Solución:
$4 G $4
G $3 
$3 G
G P $2
P G$3
$2 P
$1 P $0
$3 G $4
$2 G
$1 G $2
G P $2
G $2
P P
$1 P $1
P $0 P $0
$0
Si contamos las ramas terminales nos daremos cuenta que hay 11 maneras de que este hombre lleve a cabo sus apuestas, en este diagrama se han representado los cinco juegos o apuestas que este hombre tiene tiempo de jugar.
Combinaciones y permutaciones
Factorial de un número natural
Es el producto de los “n” factores consecutivos desde “n” hasta 1. El factorial de un número se denota por n!.
Variaciones
Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:
Las variaciones se denotan por 
Variaciones con repetición
Se llama variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que:
No entran todos los elementos si m > n. Sí pueden entrar todos los elementos si m ≤ n
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Permutaciones
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Permutaciones circulares
Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.
Permutaciones con repetición
Permutaciones con repetición de m elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ...(m = a + b + c + ... = n) son los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que :
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Combinaciones
Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:
Combinaciones con repetición
Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Números combinatorios
El número 
se llama también número combinatorio. Se representa por 
y se lee "m sobre n".
se llama también número combinatorio. Se representa por y se lee "m sobre n".
Propiedades de los números combinatorios
1. 
2.
3.
Binomio de Newton
La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.
| "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada. | |
 | "La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2. |
Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:
 | Si el orden no importa, es una combinación. |
| Si el orden sí importa es una permutación. |
 | ¡Así que lo de arriba se podría llamar "cerradura de permutación"! |
Con otras palabras:
Una permutación es una combinación ordenada.
 | Para ayudarte a recordar, piensa en "Permutación... Posición" |
Permutaciones
Hay dos tipos de permutaciones:
- Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
- Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.
1. Permutaciones con repetición
Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
Así que la fórmula es simplemente:
| nr |
| donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden importa) |
2. Permutaciones sin repetición
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
 |
Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.
|
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.
¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"
 |
La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos:
|
| Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones. | |
Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:
16! = 20,922,789,888,000
Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...
16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...
| = 16 × 15 × 14 = 3360 | |
13 × 12 ...
|
¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14
La fórmula se escribe:
 |
| donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden importa) |
Ejemplos:
Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:
| 16! | = | 16! | = | 20,922,789,888,000 | = 3360 |
| (16-3)! | 13! | 6,227,020,800 |
¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?
| 10! | = | 10! | = | 3,628,800 | = 90 |
| (10-2)! | 8! | 40,320 |
(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)
Notación
En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:
Combinaciones
También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):
- Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
- Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)
1. Combinaciones con repetición
En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.
2. Combinaciones sin repetición
Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!
La manera más fácil de explicarlo es:
- imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
- después lo cambiamos para que el orden no importe.
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:
| El orden importa | El orden no importa |
| 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 | 1 2 3 |
Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:
3! = 3 × 2 × 1 = 6
(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)
Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):
Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:
 |
| donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden no importa) |
Y se la llama "coeficiente binomial".
Notación
Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:
Ejemplo
Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:
| 16! | = | 16! | = | 20,922,789,888,000 | = 560 |
| 3!(16-3)! | 3!×13! | 6×6,227,020,800 |
O lo puedes hacer así:
| 16×15×14 | = | 3360 | = 560 |
| 3×2×1 | 6 |
Así que recuerda, haz las permutaciones, después reduce entre "r!"
... o mejor todavía...
¡Recuerda la fórmula!
Es interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita y simétrica:
Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.
| 16! | = | 16! | = | 16! | = 560 |
| 3!(16-3)! | 13!(16-13)! | 3!×13! |
Triángulo de Pascal
Puedes usar el triángulo de Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila 16:
1 14 91 364 ... 1 15 105 455 1365 ... 1 16 120 560 1820 4368 ...
1. Combinaciones con repetición
OK, ahora vamos con este...
 |
Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay?
Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son
|
(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas.
El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)
El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)
Bien, no puedo decirte directamente cómo se calcula, pero te voy a enseñar una técnica especial para que lo averigües tú mismo.
 |
Imagina que el helado está en contenedores, podrías decir "sáltate el primero, después 3 paladas, después sáltate los 3 contenedores siguientes" ¡y acabarás con 3 paladas de chocolate!
|
| Entonces es como si ordenaras a un robot que te trajera helado, pero no cambia nada, tendrás lo que quieres. |
Ahora puedes escribirlo como 
(la flecha es saltar, el círculo es tomar)
(la flecha es saltar, el círculo es tomar)
Entonces los tres ejemplos de arriba se pueden escribir así:
| {c, c, c} (3 de chocolate): | |
| {b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla): |  |
| {b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla): |  |
OK, entonces ya no nos tenemos que preocupar por diferentes sabores, ahora tenemos un problema más simple para resolver: "de cuántas maneras puedes ordenar flechas y círculos"
Fíjate en que siempre hay 3 círculos (3 paladas de helado) y 4 flechas (tenemos que movernos 4 veces para ir del contenedor 1º al 5º).
Así que (en general) hay r + (n-1) posiciones, y queremos que r de ellas tengan círculos.
Esto es como decir "tenemos r + (n-1) bolas de billar y queremos elegir r de ellas". Es decir, es como el problema de elegir bolas de billar, pero con números un poco distintos. Lo podrías escribir así:
 |
| donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden no importa) |
Es interesante pensar que podríamos habernos fijado en flechas en vez de círculos, y entonces habríamos dicho "tenemos r + (n-1) posiciones y queremos que (n-1) tengan flechas", y la respuesta sería la misma...
¿Qué pasa con nuestro ejemplo, cuál es la respuesta?
| (5+3-1)! | = | 7! | = | 5040 | = 35 |
| 3!(5-1)! | 3!×4! | 6×24 |
En conclusión
¡Uau, es un montón de cosas que absorber, quizás tendrías que leerlo otra vez para entenderlo todo bien!
Pero saber cómo funcionan estas fórmulas es sólo la mitad del trabajo. Averiguar cómo se interpreta una situación real puede ser bastante complicado.
Por lo menos ahora sabes cómo se calculan las 4 variantes de "el orden sí/no importa" y "sí/no se puede repetir".
EXPERIMENTO ALEATORIO
es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cada experiencia particular.
Ω1= {ω1, ω2, ω3}
Ω1= {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}
PROBABILIDAD CONDICIONAL
EXPERIMENTO ALEATORIO
es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cada experiencia particular.
En este apartado vamos a tratar las nociones básicas para el tratamiento del azar y que serán necesarios para tratar el siguiente tema, en el que estudiarás el concepto de probabilidad.
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| Azar. Imagen de Arturo Mandly en Flickr Licencia Creative Commons by-nc-sa |
Los comienzos del estudio matemático del azar podemos situarlo precisamente como consecuencia del estudio de los juegos de azar. Fueron el Caballero de Meré alrededor de 1651, a la vez que los matemáticos Fermat y Pascal, los que comenzaron con un estudio exhaustivo de este tipo de problemas.
Actualmente estos conceptos son aplicados prácticamente en todas las ciencias y en una gran variedad de situaciones de la vida real.
No podemos siempre determinar lo que va a suceder, pero si podemos realizar un estudio de los casos posibles que pueden darse y qué posibilidades tenemos de que ocurran cada uno de ellos.
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Por ejemplo; si lanzamos un dado, sabemos que sólo hay seis posibilidades: 1,2,3,4,5 o 6 dependiendo del azar la puntuación obtenida.
ESPACIO MUESTRAL
Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).
Espacio muestral de una moneda:
E = {C, X}.
Espacio muestral de un dado:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Suceso aleatorio
Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.
Ejemplos de espacios muestrales
1. Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas.
E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}
2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.
A = {(b,b,b); (n, n,n)}
3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.
B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}
4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}.
C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}
Consideremos el experimento aleatorio consistente en extraer una bola al azar de una urna compuesta por tres bolas rojas, dos blancas y una verde.
Podemos considerar como espacio muestral
en donde sea ω1 = bola roja, ω2= bola blanca y ω3 = bola verde, aunque también podíamos haber considerado como espacio muestral el conjunto
en donde ωi = bola roja, i = 1,2,3, ωi = bola blanca, i= 4,5 y ω6= bola verde, haciendo las bolas distinguibles.
Ambos pueden ser considerados espacios muéstrales del experimento descrito, eligiendo el que más nos convenga, por ejemplo, a la hora de asignar la probabilidad a los sucesos elementales de uno u otro espacio muestral.
El espacio probabilístico asociado al experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de un dado, tendrá como espacio muestras Ω={1,2,3,4,5,6} y como espacio de sucesos el conjunto de las partes por ser Ω finito, el cual contiene 26 elementos,
A = { Φ, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,5}, {4,6}, {5,6}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,2,6}, {1,3,4}, {1,3,5}, {1,3,6}, {1,4,5}, {1,4,6}, {1,5,6}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,3,6}, {2,4,5}, {2,4,6}, {2,5,6}, {3,4,5}, {3,4,6}, {3,5,6}, {4,5,6}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,3,6}, {1,2,4,5}, {1,2,4,6}, {1.,2,5,6}, {1,3,4,5}, {1,3,4,6}, {1,3,5,6}, {1,4,5,6}, {2,3,4,5}, {2,3,4,6}, {2,3,5,6}, {2,4,5,6}, {3,4,5,6}, {1,2,3,4,5}, {1,2,3,4,6}, {1,2,3,5,6}, {1,2,4,5,6}, {1,3,4,5,6}, {2, 3, 4, 5, 6}, Ω }.
Obsérvese que este conjunto contiene los sucesos sobre los que habitualmente se tiene incertidumbre, como por ejemplo que salga un número par, {2,4,6}, o un número mayor que cuatro, {5,6}, o simplemente que salga un seis, {6}, y que como se ve es cerrado respecto de las operaciones entre conjuntos.
EVENTOS
En la teoría de la probabilidad, un evento aleatorio o fuente de sucesos aleatorio es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio. En teoría de la probabilidad a cada evento aleatorio se le puede asignar una medida de probabilidad, y el conjunto de todos los sucesos aleatorios constituye una σ-álgebra de conjuntos.
Problema
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Tori está lanzando un par de monedas y observando cuantas caras le salen. ¿Cuáles son los resultados en este experimento? ¿Son igualmente probables?
| ||||||||||||||||||
Una moneda puede caer en cara (o Heads) o cruz (o Tails). Tori puede sacar dos caras, dos cruces, o una de cada una. Existen 3 resultados: 0 caras, 1 cara, o 2 caras.
Estos resultados no son igualmente probables. Puede sorprendente, pero piensa de esta forma: Imagina que una moneda es de 5 centavos y la otra es de 10 centavos. Las maneras posibles de lanzar las monedas son:
Nota que hay dos formas de sacar una cara, pero sólo una forma de sacar 2 caras y una forma de sacar 0 caras. Tori debe esperar obtener 1 cara ½ de las veces, 0 caras ¼ de las veces, y 2 caras ¼ de las veces.
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Solución
|
Existen 3 resultados, pero no son igualmente probables.
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Problema
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Tori lanzó un dado y quería sacar un 1 o un 3. James lanzó dos dados, uno azul y otro rojo, y quería sacar un 1 y un 3, al mismo tiempo. ¿Qué evento tiene una probabilidad mayor?
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Espacio muestral de Tori: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Espacio de eventos de Tori: {1, 3}
|
Primero, encontrar el espacio muestral y el espacio de eventos para ambos experimentos. Para el experimento de Tori, esto es fácil
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El espacio muestral de James tiene 36 resultados
El espacio de eventos de James tiene 2 resultados
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No es tan obvio para el experimento de James, ya que él está lanzando dos dados. Usaremos una tabla para encontrar las posibilidades
Hay 36 resultados. De estos, hay 2 que tienen 1 y 3
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Tori:
James:
 |
Como los resultados son igualmente probables, la probabilidad del evento es la razón entre el espacio de eventos y el espacio muestral
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Solución
|
El evento de Tori tiene mayor probabilidad.
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PROBABILIDAD CONDICIONAL
Ejemplo:
Una clase está formada
por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han
elegido francés como asignatura optativa.
A.
¿Cuál es la probabilidad de que una persona
elegida al azar sea chico o estudio francés?
B.
¿Y la probabilidad de que sea chica y no
estudié francés?
Solución
A. Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar
sea chico o estudio francés?
B. ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudié francés?
TEOREMA DE BAYES
Dado un experimento aleatorio, y considerando los eventos
A°1. A°2 del espacio muestral de tal
forma que;
Para cualquier evento s y x,
se tiene que A °s, A°x…A°k son mutuamente excluyentes, es decir A°s ∩ A
°x = ∅
- vacio
La unión de todos los eventos es S, es decir que:
A°s ∪ A°x ∪…∪ A°k los eventos son mutuamente Exhaustivos.
Se tiene el siguiente teorema llamado ley de probabilidad
total:
 |
Ejemplo:
En la sala de
pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el
35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un
pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.
a. Determine el
valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.
b. Si el infante
resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.
Solución
Suceso A: seleccionar una niña
Suceso B: seleccionar un niño
Suceso c: infantes menores de 24 meses
INDEPENDENCIA
Cuando se calcula la probabilidad
condicional de dos eventos A y B, donde
B es condición de A y el resultado es la
misma probabilidad de A, se dice que B influye sobre la concurrencia de .
Entonces estos casos, se dice que A y B son independientes.
Ejemplo:
En una escuela a el 20% de los alumnos tiene problemas en
matemáticas, el 8% tiene problemas en sociales, y el 4% tiene problemas tanto
en matemáticas como en sociales, sean (m) los que tiene n problemas en
matemáticas y (mc) los que no lo tienen. (s) los que tienen problemas en
sociales y a(c) los que no lo tienen.
1.
Son dos eventos independientes, de tener
problemas en matemáticas y en sociales?
2.
Cuál es la probabilidad de que un niño tenga
problemas en sociales, si sabemos que tiene problemas en matemáticas?
Solución
A.P(M)P(S)=
0.2 * 0.08= 0.16 Y P (M´´S)=0.04 Como P
(M´´S) = P (M´´S) = P (M´´S) =, SE CONCLUYE QUE M Y S, SON INDEPENDIENTES
2. P(S/M)=
P (S´´M) =0.04 = 0.20 P(M) 0.20
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